Introdução

Se olharmos para os mais variados recursos disponíveis em nossa sociedade, logo perceberemos que vivemos em um mundo com limitação de recursos.

Sabemos que não se pode extrair a quantidade que desejar a qualquer hora nas plataformas de petróleo. A água do nosso planeta…….nosso salário….nosso precioso tempo também é muito escasso!

Bem, acho que já consegui te convencer! Mas se olharmos para disciplinas como a economia, veremos que um dos seus fortes pilares é a gestão da escassez.

Logo, não importa se estamos falando de ambientes individuais ou profissionais, esse tema é de muitas relevância, e garante para aqueles que o estudam o grande diferencial competitivo, afinal de contas, qual a empresa que não gostaria de ter em seu quadro de funcionários um profissional focado em uma alocação ótima de recursos, muitas vezes buscando maximizar receita e/ou redução de custos?

A programção linear é a base utilizada por esses profissionais na busca das melhores alocações possíveis, e isso pode ser usado nos mais variados casos:

• Determinação do mix de produtos
• Manufatura
• Determinação de rotas e logística eficaz
• Planejamento financeiro e muito mais

Características comuns problemas de otimização

Nessa breve introdução, podemos perceber que essa alocação de recursos, buscando a sua eficácia (“fazer mais com menos em menor tempo”) passa por decisões, restrições e objetivos.

Decisões

Usando uma abordagem um pouco técnica e matemática, associada com a linguagem de negócios, podemos dizer que em um modelo função de x, as variáveis decisórias são aquelas em que você pode altera-las, e seu resultado será visto em uma variável resposta (y).

Um exemplo prático seria um geestor de uma fábrica determinando as quantidades de seu mix de produtos para a sua efetiva produção.

Restrições

Sobre essas variáveis descritas acima, ou seja, quantidade de matéria prima para a produção dos produtos, horas disponíveis para a produção, máquinas e etc, são as restrições nos modelos de progreamação linear.

Vocês verão que os símbolos matemáticos comuns a esse bloco conceitual serão: =, <, > ou !=.

Objetivos

Creio que você entenderá a frase abaixo:

“Dada a quantidade de matéria-prima disponível (x1), horas disponíveis (x2) e máquinas (x3), quero MAX a minha receita (y)”.

A frase acima explica bem os objetivos, muitas vezes expressos na condição de maximizar os resultados de uma função, ou minimizar.

Case

Os exemplos nos ajudam muito a entender os conceitos. Uma vez compreendido a base conceitual fundamental de qualquer tema, é extremamente importante que você passe a aplicar em um case real.

• Empresa: Blue Ridge Hot Tubs

• Produtos: Aqua-Spa (x1) e Hydro-Lux (x2). Aqui estamos representando x como as quantidades de cada modelo a produzir dado o objetivoe as restrições.

• Objetivo: Quantas banherias preciso produzir de cada modelo de tal forma a maximizar a minha margem?

• Restrições:

• (1) ambos modelos necessitam de somente 1 bomba em cada banheira totalizando 200 bombas disponíveis (2) 9 horas de produção (x1) e 6 horas para (x2) com 1.566 horas disponíveis (3) 12 unidades de comprimento (x1) e 16 unidades (x2) com 2.880 unidades de comprimento disponíveis

# Import lpSolve package
library(lpSolve)

# Set coefficients of the objective function
f.obj <- c(350, 300)

# Set matrix corresponding to coefficients of constraints by rows
# Do not consider the non-negative constraint; it is automatically assumed
f.con <- matrix(c(1, 1,
                  9, 6,
                  12, 16), nrow = 3, byrow = TRUE)

# Set unequality signs
f.dir <- c("<=",
           "<=",
           "<=")

# Set right hand side coefficients
f.rhs <- c(200,
           1566,
           2880)

# Final value (z)
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)
## Success: the objective function is 66100

# Variables final values
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs)$solution
## [1] 122  78

# Sensitivities
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, compute.sens=TRUE)$sens.coef.from
## [1] 300.0000 233.3333
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, compute.sens=TRUE)$sens.coef.to
## [1] 450 350

# Dual Values (first dual of the constraints and then dual of the variables)
# Duals of the constraints and variables are mixed
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, compute.sens=TRUE)$duals
## [1] 200.00000  16.66667   0.00000   0.00000   0.00000

# Duals lower and upper limits
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, compute.sens=TRUE)$duals.from
## [1]  1.74e+02  1.44e+03 -1.00e+30 -1.00e+30 -1.00e+30
lp("max", f.obj, f.con, f.dir, f.rhs, compute.sens=TRUE)$duals.to
## [1] 2.07e+02 1.80e+03 1.00e+30 1.00e+30 1.00e+30

Solução

As quantidades que se maximiza o valor de margem ($66.100) são respectivamente 122 (x1) e 78 (x2).

Próximos passos

Buscar soluções gráficas usando o conceito chamado Curva de Nível.